Probabilitas & statistika

Posted: November 11, 2010 in Probabilitas & statistika
Tags:

A. PENGERTIAN PROBABILITAS
Probabilitas atau Peluang adalah : derajat tau tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistic. Suatu probabilitas dilambangkan dengan P
Untuk membantu pemahaman konsep dasar probabilitas terlebih dahulu harus memahami analisis kombinatorial, yaitu analisis bilangan factorial,permutasi dan kombinasi. Secar umum probabilitas dapat dipahami sebagai suatu nilai dari 0 s/d 1 yang mennjukkan seberapa besar terjadinya suatu peristiwa, suatu kejadian (event), adalah sekumpulan atau lebih dari hasil-hasil yang mungkin pada suatu eksprimen. Adapun hasil (out come) adalah sekumpulan data yang merupakan seluruh hasil dari eksprimen. Sedangkan eksprimen sendiri menjelaskan suatu proses yang dilakukan untuk mendapat hasil-hasil yang diamati lebih jauh.
Sebagai contoh, proses pelemparan dadu untuk mendapatkan hasil adalah merupakan suatu eksprimen, sedangkan 1, 2, 3, 4, 5, 6 adalah keseluruhan hasil (out comes) yang mungkin terjadi. Kumpulan angka genap (2, 4, 6) atau kumpulan angka ganjil (1, 3, 5) adalah kejadian (event).
Rumus peluang:

Probabilitas marginal merupakan probailitas yang tidak dibatasi oleh apapun, hanya kedua faktor utama di atas. Probabilitas marginal dapat dikatakan probabilitas tak bersyarat. Sebagai contoh adalah probabilitas pengambilan sebuah kelereng berwarna merah dalam sekali pengambilan pada sebuah kotak yang berisi 3 bola merah dan 7 bola biru. Dalam contoh ini, besarnya peluang terambilnya kelereng berwarna merah dibatasi oleh banyak sampel (yaitu 10 kelereng) dan banyaknya kejadian yang memungkinkan (terdapat 3 kelereng merah). Sehingga nilai probabilitas untuk contoh di atas adalah 3/10.
Probabilitas kondisional, sesuai dengan namanya, maka jenis probabilitas ini terdapat kondisi yang turut membatasi nilai probabilitas yang dihasilkan. Probabilitas ini disebut juga dengan probabilitas bersyarat. Syarat atau kondisi inilah yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan nilai probabilitas. Sebagai contoh sederhana adalah probabilitas pengambilan sebuah bola berwarna merah dari kotak A, dari 2 kotak (A dan B) yang memiliki kontent yang berbeda (kotak A = 2 merah + 3 putih ; kotak B = 3 merah + 4 putih). Dalam contoh ini terdapat syarat yang secara implisit dapat dikatakan bahwa bola merah yang terambil harus berasal dari kotak A. Kotak A di sini menjadi acuan. Artinya yaitu kita harus melihat juga peluang kotak A dari kotak lainnya. Pada contoh ini dapat kita tentukan bahwa peluang kotak A dari kotak B adalah 1/2. Sedangkan besar peluang terambil bola merah dari kotak A sendiri yaitu 1/6. Probabilitas kondisional ditentukan dari perbandingan peluang kejadian bersyarat dengan peluang syarat itu sendiri dari seluruh sampel yang ada. Sehingga pada contoh di atas, nilai probabilitas kondisional untuk terambilnya bola merah dari kotak A adalah perbandingan antara peluang terambilnya bola merah dari kotak A dari seluruh sampel dengan peluang terambilnya bola dari kotak A terhadap seluruh sampel. Atau kita tuliskan menjadi (1/6) / (1/2) = 1/3.
B, Probabilitas Suatu Kejadian

Teori probabilitas untuk ruang sampel berhingga menetapkan suatu himpunan bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1sehingga probabilitas terjadinya suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik padaruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1.

Definisi 1
Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. Jadi
0  P(A)  1 ; P() = 0 dan P(S) = 1.

Contoh 1
Bila sebuah mata uang dilantunkan dua kali maka ruang sampelnya adalah
S = { MM, MB, BM, BB }.
Bila mata uang yang digunakan setaangkup maka tiap hasil mempunyai kemungkinan muncul sama. Tiap titik diberi bobot b sehingga 4b = 1 atau b = ¼. Bila A menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu muka muncul maka P(A) = ¾.

Teorema 1
Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A maka probabilitas kejadian A adalah P(A) = n/N.

Contoh 2
Bila satu kartu ditarik dari satu kotak bridge berisi 52 kartu maka akan ditentukan peluang mendapatkan kartu hati. Banyaknya hasil yang mungkin adalah 52 dan 13 diantaranya adalah kartu hati. Probabilitas kejadian A menarik kartu hati adalah
P(A) = 13/52 = ¼.

B.1 Sifat-sifat Probabilitas
Teorema 2
Bila kejadian A dan B merupakan dua kejadian sembarang maka
P( A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) .
Akibat 1
Bila kejadian A dan B kejadian yang terpisah maka
P( A  B) = P(A) + P(B) .
Akibat 2
Bila A1, A2, …, An saling terpisah maka
P(A1 A2  …  An) = P(A1) + P(A2) + …. + P(An).

Contoh 3
Probabilitas seorang mahasiswa lulus Kalkulus 2/3 dan probabilitas lulus Statistika 4/9. Bila probabilitas lulus paling sedikit satu mata kuliah 4/5 maka probabilitas lulus dalam kedua mata kuliah adalah
P(K St) = P(K) + P(St) – P(K  St)
= (2/3) + (4/9) – (4/5)
= 14/45.

Teorema 3
Bila kejadian A dan kejadian Ac kejadian yang saling berkomplemen maka
P(Ac) = 1 – P(A) .

B.3 Probabilitas Bersyarat
Probabilitas terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dinotasikan dengan P(B | A).
Definisi 2
Probabilitas bersyarat B dengan diketahui A dinyatakan dengan P(B | A) ditentukan oleh
P(B | A) = P(A  B) / P(A) dengan P(A) > 0.
Contoh 5
Misalkan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang telah tamat SMA di suatu kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :
Tabel
Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata daan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempropagandakannya ke seluruh negeri. Misalkan M menyatakan kejadian lelaki yang terpilih sedangkan kejadian E menyatakan orang yang terpilih dalam status bekerja.
Bila digunakan ruang sampel E diperoleh P(M | E) = 460/600 = 23/30. Misalkan (A) menyatakan jumlah unsur dalam suatu himpunan A.
Diperoleh
P(M | E) = n(E  M )/ n(E)
= [ n(E  M)/n(S) ] / [n(E)/n(S) ]
= P(E M)/P(E) .
Dalam hal ini
P(E) = 600/900 = 2/3,
P(E  M) = 460/900 = 23/45,
P(M | E) = (23/45)/(2/3) = 23/30.
Teorema 4
Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan maka
P(A  B) = P(A) P(B | A) .
Teorema II.5
Bila dalam suatu percobaan kejadian A1, A2, A3, … dapat terjadi maka
P(A1  A2  A3  … ) = P(A1) P(A2 | A1 ) P(A3 | A1  A2 )
Definisi 3
Kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika
P(A  B) = P(A) P(B) .

C. BAG IAN – BAG IAN PROBABILITAS
1.BILANGAN FAKTORIAL
Bila n bilangan bulat positif, maka bilangan factorial ditulis dengan n! dan di defenisikan sebagai berikut:
Rumus: n!= n (n-1) (n-2)…… 3 x 2 x 1
O! = 1dan 1! = 1
2. PERMUTASI
Susunan- susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan mengambilseluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut yang ditulis dengan p
Rumus =
Beberapa jenis permutasi
a. permutasi melingkar ( keliling)
suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan secara melingkar.
Rumus ; banyaknya permutasi = (n-1)!
b. permutasi dari sebagian anggota yang sama jenisnya.
Bila kita mempunyai himpunan yang terdiri atas n anggota, maka ada kemunhkinan sebagian dari anggotanya mempunyai jenis yang sama.
Rumus : =
3. KOMBINASI
Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari aanggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut.
RUMUS : nCr=

D. KONSEP DASAR PROBABILITAS
1. pengantar menuju pemahaman konsep probabilitas
Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti apalagi kejadian dimasa yang akan dating, misalnya sebagai berikut ;
1. apakah nanti malam akan dating hujan.
2. apakah pesawat garuda akan berangkat tepat waktu.

Begitu juga dalam percobaan statistic,kita tidak bias mengetahui dengan pasti hasil-hasil yang akan muncul misalnya:
Pada melemparan sebuah uang logam kita tidak tau dengan pasti hasilnya.apakah yang akan muncul sisi muka atau sisi belakang dari uang logam itu.
2. perumusan probabilitas
a. perumusan klasik
Bila kejadiian E terjsdi dalam n cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuik muncul,maka probabilitas kejadian E yang ditulis P(E) dirumuskan sebagai berikut;
rumus
b.rumusan dengan frekuensi relatife
Probabilitas empiris dari suatu kejadian dengan memekai frekuensi relative dari terjadinya suatu kejadian dengan syarat banyakny pengamatan atau banyaknya sampel n adalah sangat besar.
Rumus :
E. RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
Kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi opada suatu percobaan statistic disebut ruang sample.yang dilambanmgkan dengan himpunan S,sedangkan anggota-anggota dari S disebut titik sampel.
Rumus :

F. SIFAT-SIFAT PROBABILITAS KEJADIANYA
Dengan pengetahuan kejadian A ruang sample S dan pelung kejadian A pada S yaitu

sifat 1. 0 < P(A) < 1
Penjelasan sifat ini, A merupakan himpunan dari S yaitu A C S, maka banyaknya anggota A selalu lebih sedikit dari banyaknya anggota S yaitu n (A) ≤ n (S) sehingga 0 < n (A) < 1 atau 0 < P(A) < 1…(1)
sifat 2. dalam hal A = 0 , himpunan kosong artinya A tidak terjadi pada S, maka n (A) = o, sehingga:

sifat 3 = dalam hal A = S maksimum banyaknya anggota A sama dengan banyakny anggota S, maka n (A) = n (S) = n sehingga

bila hasil (1), (2) dan (3) digabunmg maka diperoleh sifat 0 ≤ P(A) < 1
dalam hal P(A) = 0, dikatajkan A kejadian yang mustahil terjadi dan dalam hal P(A) = 1 dikatakan A kejadian yang pasti terjadi.
CONTOH SOAL
1. bilangan Faktorial
hitunglah 3!, 5!, 6!
2. bilangan permutasi
hitunglah ?
a. 6P2 b. 8P4 c. 4P2
LANGKAH LANGKAH PENYELESAIANYA
Langkah-langkah penyelesaianya
1. Jawab ;
Rumus : n! = n (n-1) (n-2)…..3.2.1
3! = 3 (3-1) (3-2)
= 3.2.1
= 6
5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-4)
= 5.4.3.2.1
= 120
6! = 6 (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5)
= 6.5.4.3.2.1
= 720
2. jawab:
rumus:

a. diketahui n= 6 dan r=2

Diketahui n= 8 dan r=4
Rumus

Diketahui n= 4 dan r = 2
Npr = n!
(n-1)!
= 4!
(4-2)!
= 4.3.2.1
2.1
= 12
2
= 6
3. Ruang sample dan kejadian
Pada pelemparan sebuah dadu misalnya kejadian A menyatakan munculnya muka dadu genap pada S maka A = { 2.4.6 } sehingga probabilitas kejadian A adalah
Langkah-langkah penyelesaianya
Rumus ; P(A) = n(A) = m
= n (S) n
P(A) = 3
6
= 1
2
4. Permutasi dari sebagian anngota yang sama jenisnya
Beberapa permutasi dalam STATISTIKA carilah permutasi dari kata tersebut
Langkah-langkah penyelesaianya
Jawab
Diketahui :
S = 2 , T= 3, A= 2, I=2, K=1
Rumus ;
n!
n1!, n2!, n3!, ….nk!
10
2!,3! 2! 1! 2! 1!
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
2! 3! 2! 1! 2! 1!
= 362800
48
= 75.600
5. Kombinasi
Hitunglah !
a. 12 b. 7
6 3
Langkah-langkah penyelesaianya:
Jawab:
Diketahui n= 12 dan r= 3
Rumus:
nCr = n!
r!(n-r)!
12 = 12!
6 3! (12-6)!
= 12!
3! 6!
= 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
3.2.1 6.5.4.3.2.1
= 110880
b. diketahui n= 7 dan r = 3
langkah-langkah penyelesaianya
jawab
rumus :
nCr = n!
r!(n-r)!
7 = 7!
3 3!(7-3)!
= 7!
3! 4!
= 7.6.5.4.3.2.1
3.2.1 4.3.2.1
= 35
6. kaidah pengadaan
Pada sebuah perpustakaan membuat rak buku yang terjadi dari :
Buku hokum ,keguruan, pertanian dan ekonomi. Bala perpustakaan tersebut mempunyai 4 jenis buku hokum 2 jenis buku keguruan, 5 jenis buku pertanian ,3 jenis buku tentang ekonomi. Berapa paket rak yang yang akan dibuat.
Langkah-langkah penyelesaiaanya.
Jawab
Diketahui paket rak buku
Buku tentang hukum = 4
Buku rtentang keguruan = 2
Buku tentang pertanian = 5
Buku tentang ekonomi = 3
Banyaknya paket rak adalah ; 4 x 2 x 5 x 3 = 120 paket

G. Teori Bayes
Masih berhubungan dengan kuliah statistika industri oleh Bapak Parama Kartika Dewa, kali ini saya akan mengulas sedikit mengenai teori Bayes. Teori Bayes ditemukan oleh Thomas Bayes (London, 1702-1761). Teori ini berkaitan terhadap probabilitas, khususnya yang bersifat kondisional. Teori Bayes dapat digunakan jika dalam kondisi dua kejadian yang berturutan dan dependent (tidak saling lepas). Teori ini pada dasarnya dapat digunakan untuk menentukan nilai probabilitas terhadap suatu kejadian dengan syarat tertentu.
Sebagai contoh adalah jika kita ingin menentukan nilai probabilitas untuk pengambilan sebuah bola berwarna biru yang berasal dari kantong A. Contoh ini memiliki syarat yaitu bahwa bola biru yang terambil harus berasal dari kantong A saja. Misal, kantong A berisi 5 bola biru dan 3 bola kuning, sedangkan kantong B berisi 2 bola biru dan 6 bola kuning. Dengan teori Bayes, kita dapatkan nilai probabilitas untuk pengambilan bola biru dari kantong A adalah 5/7.
Tahukah Anda? Padahal saya menjawab kasus di atas tanpa menggunakan teori Bayes lho. Bagaimana caranya? Jika tidak percaya, silahkan Anda hitung dengan teorema Bayes seperti yang Bpk Parama ajarkan. Bukan bermaksud menentang teori bayes, namun saya mempunyai cara perhitungan yang lebih cepat dan mudah untuk kasus di atas. Caranya adalah tinggal mencari besar peluang bola biru pada kantong A (jumlah 5) terhadap jumlah keseluruhan bola biru pada kedua kantong (jumlah 7 bola biru). Sehingga dari perhitungan singkat ini langsung kita temukan jawabannya, yaitu 5/7. Percaya?? Silahkkan mencoba!!

H. DISTRIBUSI BINOMIAL
1. PENGERTIAN DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL
Distribusi Probabilitas Binomial menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang dinamakan percobaan beroulli.
ciri-ciri Bernoulli
a. setiap kegiatan hanya dihasilkan 2 kejadian

Percobaan /kegiatan Kejadian
Melempar uang keudara 1. muncul gambar
2. muncul angka
Perubahan harga 1. inflasi
2. deflasi

b. probabilitas sebuah kejadian baik sukses maupun gagal tetap bernilai sama untuk setiap percobaan
c. percobaan-percabaan bersifat independent
d. data yang dikumpul merupakan hasil dari perhitungan.

pembentukan distribusi normal
untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlkukan ppengetahuan dua hal yaitu:
a. banyaknya atau jumlah dario percobaan atau kegoiatan dan,
b. probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal. Distribusi probabilitas binomial dapat dinyatakan sebagai berikut:

dimana:
P(r) = nilai probabilitas binomial
P = probabilitas sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan
N = jumlah nilai percobaan
Probabilitas gagal suatu kejadian yang diperolehb dari q = 1 – p

I. Distribusi Peluang Diskret : Hipergeometrik

Perbedaan distribusi binomial dengan distribusi multinomial terletak pada cara pengambilan sampelnya. Penggunaan distribusi ini hampir sama dengan distribusi binomial. Misalnya distribusi binomial diterapkan pada sampling dari sejumlah barang (sekotak kartu, sejumlah hasil produksi) sampling harus dikerjakan dengan pengembalian setiap barang setelah diamati. Sebaliknya distribusi hypergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada sampling tanpa pengembalian.
Distribusi hypergeometrik mempunyai sifat:
• Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari N benda.
• Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-k diberi nama gagal.
Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k gagal dinyatakan sebagai:

Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata dan variansi sbb:

Contoh Soal:
Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5 fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yang duduk dalam panitia.
Jawab:
Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia.
X={0,1,2,3}
Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus

Tabel distribusi hipergeometriknya adalah:
X 0 1 2 3
h(x;8,5,3) 1/56 15/56 30/56 10/56

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s